Existe raíz, es única y la aproximamos con el método de Newton

Hoy voy a colgar el último problema del examen que hicimos hace un par de semanas.

La verdad es que no tiene demasiado interés, pero no vamos a dejar el examen inconcluso por un ejercicio, ¿no?

En este caso se trata de un problema en dos etapas. En la primera debemos demostrar que existe raíz y que es única en un intervalo dado para una función bien conocida: el coseno. En la segunda parte debemos aproximar esta raíz haciendo un solo paso del método de Newton.

La primera parte es totalmente típica y muy sencilla: teorema de Bolzano para probar la existencia de raíz y teorema de Rolle para la unicidad. La segunda tiene algo de novedad, ya que tendremos que emplear un método numérico.

Podéis pinchar en el siguiente enlace para consultar en la wikipedia en qué consiste el método de Newton para aproximar raíces.
La idea es sencilla: empezamos en un punto dado, $x_0$, y asumimos que la función $f$ se parece a su recta tangente en ese punto. Entonces calculamos la raíz de la recta tangente (o sea, el punto de corte de esta recta con el eje OX) y ya estaremos cerca de la raíz de $f$. Volvemos a calcular la recta tangente por este segundo punto, su raíz, etc..
El método resultante es muy sencillo de implementar en un ordenador y, bajo ciertas hipótesis razonables, aproxima de maravilla las raíces de una función y lo hace muy rápido (en muy pocos pasos).

En fin, sin más rollo, os dejo el ejercicio resuelto. ¡Espero que os sea útil!