Otro ejercicio de Taylor, éste para una función del tipo raíz cuadrada.

 ¡Buenas tardes! 

Hoy debo reconocer que me equivoqué en clase. Sí, en la que di en el grupo 2 (después repasé el ejercicio y ya lo hice bien en el grupo 3). 

Concretamente, un error al hacer las derivadas, para mi vergüenza.

Así que me toca disculparme y tratar de enmendar el fallo colgando aquí la solución correcta.

Es un problema típico de Taylor. Completo, eso sí. Incluye el cálculo del polinomio, localización del punto en el que hay que evaluar la función y acotación del error. 

Pues ahí lo tenéis. ¡Ánimo!

ABAU 2017. Coste mínimo de una caja.

 ¡Buenos días!

Seguimos incluyendo problemas nuevos en el blog. Hoy os traigo uno que apareció en la ABAU del año 2017.

Es un problema sencillo, de cálculo del mínimo absoluto de una función. 

Como casi siempre en estos problemas, partimos de un enunciado de un problema real y tenemos que formularlo matemáticamente. Creo que en este caso es muy sencillo, pero eso no quita que sea una dificultad añadida. 

Una vez que hemos deducido la formulación matemática del enunciado, nos encontramos con una novedad: no se cumplen las hipótesis de Weierstrass. Es decir, estaremos ante una función continua pero en un intervalo abierto y no acotado. Algo tendremos que pensar...

En fin, creo que no es difícil. ¡Vamos allá!

¡Ah! Al final podréis encontrar el fichero .ipynb, por si queréis experimentar con Jupyter notebook o, en general, con Python.

Un ejercicio sencillo del Teorema de Taylor

¡Buenas!

Vamos a ir colgando las soluciones de los problemas del examen.

Empezamos, como debe ser, por el problema 3, que está chupado, y así vamos ganando confianza.

Es un ejemplo directo de aplicación del Teorema de Taylor.

Derivadas fáciles, aplicación sencilla... ¡Ni siquiera nos piden una estimación del error!
Un poco frustrante, sí, pero para sumar puntos bien vale.

¡Si hasta me cupo toda la solución en una página! Chollo...

Máximos y mínimos absolutos para una función de tipo valor absoluto.

¡Buenas!

Pues voy a colgar hoy la solución a un problema que pusimos en el último examen de Julio (año 2016).

Se trata de un problema de cálculo de extremos absolutos que tiene como única dificultad el hecho de que la función viene definida mediante un valor absoluto.

En estos casos, lo que hay que hacer es desarrollar la función, separando con cuidado las partes en las que el interior del valor absoluto sea negativo y aquéllas en las que sea positivo. Así, el valor absoluto se separa en una función definida a trozos que, generalmente, será continua pero no derivable en los puntos en que se cambia la definición.

Y no hay mucho más que decir...

¡Ah! Observaréis que ya, definitivamente, me inclino por la escritura en latex. No es que me guste más, pero me resulta mucho más cómodo hacerlo así. Sí, ya sé que parece curioso que se tarde menos en preparar un ejercicio en latex que a mano... pero, en mi caso, ¡es rigurosamente cierto!. Espero que no reste demasiada personalidad a este blog.

¡Ánimo!

Curiosidad histórica sobre la regla de l'Hôpital

Buenos días.

A ver si con entradas cortas voy retomando el gusto de escribir en este blog...

Pues preparando la clase de hoy, en la que hablaré de la regla de l'Hôpital, he encontrado (¡gracias, wikipedia!) un artículo muy interesante sobre su procedencia histórica.

Ya hace tiempo que se sabe que, pese a su nombre, el verdadero descubridor de la regla de l'Hôpital fue Johann Bernoulli (hermano pequeño del más famoso Jacob Bernoulli, uno de los más grandes matemáticos de la historia) quien se la vendió a Guillaume Francois Antoine, marqués de l'Hôpital, a finales del siglo XVII. Pero los detalles son muy interesantes.

Podéis verlo aquí:
http://www.univie.ac.at/EMIS/journals/DM/v1/art7.pdf
Es cortito y está escrito en castellano, así que ¡nada de pereza!

¿Cuánto creéis que valdría hoy una fórmula matemática como ésta?
O, mejor planteada la pregunta, ¿cuánto vale que 350 años más tarde la gente siga conociendo tu nombre?

Una cuestión sobre el polinomio de Taylor

Hoy vamos a resolver una cuestión muy sencilla en la que lo más importante es tener clara cuál es la forma del polinomio de Taylor.

La pregunta se hace al revés de como es habitual: en vez de darnos la función y preguntarnos cuál es su polinomio de Taylor, nos dan éste y nos piden que saquemos información de la función.

Y, claro, el polinomio de Taylor sólo nos da información exacta de la función en un punto: el que tomamos como centro (llamémosle a). En ese punto el valor de la función y de sus derivadas hasta el orden n coinciden con el valor del polinomio y de sus derivadas hasta el mismo orden. Por lo tanto, del polinomio podemos sacar toda esa información: f en a, f' en a, etc.

Conviene tomar este ejercicio como un primer acercamiento al teorema de Taylor antes de intentar resolver ejercicios más complicados.

Y sólo añadir que, un poco para nuestra vergüenza, este ejercicio se puso en un examen de la asignatura que imparto. Sí, de una asignatura de primero de una ingeniería. ¡Y valía 0.75 puntos sobre un total de 6! Es decir, el 12.5% de la puntuación del examen salía de algo tan sencillo como lo que vais a ver a continuación.

Ejercicio de selectividad. Una función definida a trozos.

Vamos a seguir resolviendo ejercicios de exámenes de selectividad.
En este caso se trata de un problema que cayó en la selectividad de Madrid en junio de 2012.

Como casi siempre en estos casos, es un ejercicio bastante completo.
Partimos de una función definida en 2 trozos, y que, además, depende de un parámetro A en el primer trozo. Nos piden fijar ese parámetro para que la función sea continua y, después, estudiar su derivabilidad y los puntos en los que la derivada se anula.
 La tercera parte pregunta por máximos y mínimos absolutos, pero en un dominio que corresponde por completo a la segunda definición de la función f. Aunque matemáticamente sería más interesante tomar un dominio que incluyera al punto 3 (os animo a hacer este mismo apartado con, por ejemplo, máximos y mínimos en [0,6]), supongo que la persona que redactó el ejercicio quería dar margen para que pudieran puntuar algo los alumnos que no supieran responder al primer apartado.

 En resumen, una magnífica excusa para repasar conceptos que se deben dominar bien en el bachillerato. Si estáis preparando la selectividad, ¡adelante! Debéis hacer muuuchos como éste. Si estáis en primero de carrera, utilizad estos ejercicios como tabla de repaso que ayuden a fijar y repasar conocimientos.

Distancia del origen a una parábola

Hoy vamos a resolver un problema bastante repetido. Se trata de calcular la distancia desde un punto fijo (aquí es el origen) hasta una curva (en este caso es una parábola, pero podríamos poner cualquier otra ecuación).
Esta distancia se define como la longitud mínima entre el punto fijo y los puntos de la curva. Un cálculo directo convierte este problema en el cálculo del mínimo de la función distancia, que dependerá de x, según nos vayamos moviendo por la curva. 
Os dejo los links a otros ejemplos resueltos en la red:
http://www.roberprof.com/2010/04/07/distancia-minima-de-un-punto-a-una-parabola/
http://www.youtube.com/watch?v=XG6kV2BLByU

Por cierto, generalmente esta función se eleva al cuadrado para borrar la raíz cuadrada. Pero yo creo que este truco suele entenderse mal y simplifica poco el problema (únicamente cuando queremos calcular la derivada segunda, lo que no es estrictamente necesario), así que en este ejemplo no lo hago, aunque lo incluyo como un comentario.

El problema es sencillo, pero, en este caso, debo reconocer que los cálculos quedan un poco engorrosos. Para ayudaros, como siempre, os recomiendo que reviséis vuestras cuentas (derivadas, desarrollo de polinomios, etc.) utilizando Maxima.

¡Vamos allá!

Un límite logarítmico que depende de 2 variables

Vamos a seguir en la misma línea de la entrada anterior (ya que estamos...), y a seguir con los límites logarítmicos.

En este caso hay una pequeña diferencia en la forma de presentar el ejercicio. No se pide calcular el límite, sino jugar con 2 parámetros (a y b) que aparecen en la expresión para que ese límite dé $\pi$. En el fondo es exactamente lo mismo, pero puede confundir un poco esa forma de presentar el ejercicio.

De nuevo, siguiendo con el consejo que comenzamos en la anterior entrada, os recomiendo utilizar maxima para confirmar vuestros cálculos, o para ayudaros a medio camino. Como ejemplo, en este caso, el límite total se puede calcular con la expresión limit(((2*x+a)/(2*x+b))^(3*x),x,inf), pero también podemos apoyarnos en algún paso intermedio, por ejemplo, al derivar el logaritmo neperiano de (2x+a)/(2x+b) (diff((2x+a)/(2x+b),x) o ratsimp(diff((2x+a)/(2x+b),x))).

Por cierto, este ejercicio lo usamos en nuestros boletines de primero de ingeniería, pero perfectamente podría ser un ejercicio de selectividad.

Un ejercicio de selectividad. Bolzano, Rolle y un límite logarítmico.

Hoy vamos a resolver un problema que cayó en un examen de selectividad. Concretamente en Galicia, en junio de 2012.

Como podéis ver, la dificultad de este ejercicio es más o menos la misma que la de otros ejercicios que hemos resuelto hasta ahora... lo que me hace pensar en hasta qué punto estamos bajando el nivel en los primeros cursos de una ingeniería universitaria. En fin...

En este caso podemos ver dos partes bien distintas. Más que un ejercicio con dos apartados son dos ejercicios distintos.

La primera parte es una aplicación directa del teorema de Bolzano y del teorema de Rolle. Se resuelve del mismo modo que el comienzo de un ejercicio que pusimos en el examen de hace un par de meses, y que podéis ver aquí.

En cuanto a la segunda parte, es un límite logarítmico. Es decir, un límite del tipo $1^{\infty}$, que, como sabéis, es indeterminado. Para resolverlo, tomamos logaritmo en el límite y así hacemos bajar al exponente. Después es fácil conseguir una indeterminación del tipo 0/0 (o $\infty/\infty$) y aplicar directamente la regla de l'Hôpital. Aquí tenéis un vídeo (no es mío, pero creo que está bien explicado) en el que se hace con detalle un ejemplo de este tipo.

Por cierto, os recomiendo que os habituéis a usar maxima.
Es un software libre (si usáis linux lo tenéis en los repositorios, sino lo podéis descargar aquí) que permite hacer cálculo simbólico (límites, derivadas, integrales, etc.) de forma muy sencilla e intuitiva. Y si os apetece probarlo, tenéis una versión on-line que podéis usar con cualquier navegador en http://maxima-online.org/.
Como ejemplo, el límite anterior se puede hacer con la orden:
limit(((x+2)/(x^2+x+2))^(1/x^2),x,0);

¡Vamos allá!

Derivabilidad de una función definida a trozos

Esta noche os voy a dejar planteado un ejercicio tipo muy sencillo que, como casi siempre, encierra una pequeña trampa.

Se trata de estudiar la derivabilidad de una función definida a trozos justo en el punto en que pasamos de una definición a otra.

La trampa está en que muchas veces estos ejercicios se enseñan mal. Es una práctica muy extendida entre muchos profesores de bachillerato (y algunos universitarios) comprobar la derivabilidad evitando la definición. Es más sencillo mirar si la función derivada es continua y, en caso de serlo, deducir que la función es derivable.
Lo malo es que esta técnica es incorrecta y puede dar lugar a muchas confusiones, como la que os mostramos en este ejercicio.
¡Y este error circula hasta por internet! Podéis comprobarlo en este enlace (que corresponde a la, por otra parte, muy recomendable página lasmatematicas.es) en el que el ejercicio se realiza de forma no del todo correcta.

Espero que esta entrada aclare os pueda aclarar un poco este punto.

Existe raíz, es única y la aproximamos con el método de Newton

Hoy voy a colgar el último problema del examen que hicimos hace un par de semanas.

La verdad es que no tiene demasiado interés, pero no vamos a dejar el examen inconcluso por un ejercicio, ¿no?

En este caso se trata de un problema en dos etapas. En la primera debemos demostrar que existe raíz y que es única en un intervalo dado para una función bien conocida: el coseno. En la segunda parte debemos aproximar esta raíz haciendo un solo paso del método de Newton.

La primera parte es totalmente típica y muy sencilla: teorema de Bolzano para probar la existencia de raíz y teorema de Rolle para la unicidad. La segunda tiene algo de novedad, ya que tendremos que emplear un método numérico.

Podéis pinchar en el siguiente enlace para consultar en la wikipedia en qué consiste el método de Newton para aproximar raíces.
La idea es sencilla: empezamos en un punto dado, $x_0$, y asumimos que la función $f$ se parece a su recta tangente en ese punto. Entonces calculamos la raíz de la recta tangente (o sea, el punto de corte de esta recta con el eje OX) y ya estaremos cerca de la raíz de $f$. Volvemos a calcular la recta tangente por este segundo punto, su raíz, etc..
El método resultante es muy sencillo de implementar en un ordenador y, bajo ciertas hipótesis razonables, aproxima de maravilla las raíces de una función y lo hace muy rápido (en muy pocos pasos).

En fin, sin más rollo, os dejo el ejercicio resuelto. ¡Espero que os sea útil!

Aproximar una raíz cuarta con el polinomio de Taylor

¡Vamos a seguir resolviendo el examen que pusimos en Cálculo el viernes pasado!
Por cierto, estoy juntando estos ejercicios con una etiqueta común, para que todo esté más claro.

El ejercicio de hoy es una aplicación del Teorema de Taylor. Nos piden que aproximemos una raíz cuarta acotando el error cometido. Lo más novedoso es que nos piden que usemos una función un tanto diferente (la inversa de una raíz cuarta desplazada, $f(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{1+x}}$). Así que una de las dificultades del ejercicio será relacionar esa función f con la raíz cuarta que nos piden que aproximemos. He detallado el paso lo máximo posible (o eso creo...).

¡Vamos a ganar un puntito!

Cable barato a una plataforma petrolífera

Pues hoy es un día un poco especial. Los que no seáis alumnos míos (¡¡bienvenido!!) no entenderéis a qué me refiero: mañana tenemos el examen de Cálculo. Por eso mis alumnos andan revueltos (y el número de visitas a este blog ha crecido que no veas...).

Para evitar suspicacias, voy a dejaros hoy un problema que seguro que no cae en el examen de mañana... porque ya lo pusimos en el examen de diciembre (examen de la antigua licenciatura que se está extinguiendo).

Es un problema típico de encontrar el mínimo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado y acotado. Vamos, una aplicación directa del Teorema de Weierstrass. Pero es de esos ejercicios "de literatura", en los que hay que pasar de una redacción a una formulación matemática. Y eso a veces complica un poco la vida.

¡Vamos allá!

Otro ejercicio de Taylor con acotación de error

¡Buenos días!

¿Qué tal llevamos el inicio del año? ¿Ya vuelven las ganas de trabajar? ¡Ánimo!

Para que vayáis calentando motores, os dejo un ejercicio completo de aplicación del Teorema de Taylor. Es sencillo y bastante estándar. Lo único un poco complicado en este caso es que, para hacer la acotación del error, hay que estudiar la derivada de f involucrada (f'''), y, aunque no tiene demasiada dificultad, siempre nos lía un poco.

¡Vamos allá!

Optimizamos una ventana de Norman

Vamos a ver un nuevo problema de aplicación de máximos y mínimos.
Es un problema relativamente sencillo en su planteamiento, ya que en cuanto haces el dibujo de la ventana te das cuenta de cuánto es su perímetro (que es la restricción) y cuál su área (la función a maximizar).  Pero antes de acabarlo tendremos que lidiar con 2 o 3 (depende lo que consideremos difícil) puntos delicados:

1. Establecer el intervalo correcto para r.
2. Jugar con fracciones en las que aparece $\pi$.
3. Comparar las evaluaciones del área en los puntos candidatos (al final sólo hay que comparar 2 fracciones, pero...). 

Bueno, ¡al grano!

Derivabilidad y mínimo relativo para una función definida a trozos.

¡Buenas!

Hoy os voy a proponer un problema difícil. Se trata de una función definida en 2 trozos. En el primero es estándar pero en el segundo la función depende de dos parámetros, a y b. Se trata de fijar estos dos parámetros para que, en primer lugar, la función sea derivable y, en segundo lugar, tenga un mínimo relativo.
La primera parte es directa (aunque debo reconocer que los cálculos son bastante aburridos), pero la segunda parte requiere pensar un poco y, sobre todo, tener clara la definición de mínimo relativo (no me gusta la definición de la wikipedia, os recomiendo buscar en la bitácora).
¡Ánimo!

Mayor superficie posible de un rectángulo que se apoya en una parábola

¡Buenas!
Hoy vamos a practicar con un ejercicio sencillo de encontrar el máximo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado y acotado. Como sabéis (espero), en este caso el  teorema de Weierstrass (también podéis consultar el teorema en la Bitácora, en la última parte de Límites y continuidad) nos garantiza que ese máximo absoluto existe.
En estos ejercicios lo difícil suele ser el planteamiento, una vez hemos pasado de la literatura a la matemática la resolución, generalmente, es sencilla. Y para ello ayuda enormemente hacer un dibujo lo más preciso posible y pensar bien dónde ponemos la variable (dónde va a estar $x$).

Ejercicio de Taylor

¡Buenos días/tardes/noches!

Os dejo colgado un ejercicio completo sobre el Teorema de Taylor (con acotación del error y todo). La teoría de este importantísimo teorema la podéis ver  en la wikipedia o en las notas que dejé en la bitácora.

Extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado

Para que empecéis con fuerza la semana, aquí os dejo resuelto un teorema en el que se aplica el Teorema de Weierstrass a un caso particular.
Como veréis, este ejercicio tiene una pequeña peculiaridad respecto a los que son más habituales...