ABAU 2017. Coste mínimo de una caja.

 ¡Buenos días!

Seguimos incluyendo problemas nuevos en el blog. Hoy os traigo uno que apareció en la ABAU del año 2017.

Es un problema sencillo, de cálculo del mínimo absoluto de una función. 

Como casi siempre en estos problemas, partimos de un enunciado de un problema real y tenemos que formularlo matemáticamente. Creo que en este caso es muy sencillo, pero eso no quita que sea una dificultad añadida. 

Una vez que hemos deducido la formulación matemática del enunciado, nos encontramos con una novedad: no se cumplen las hipótesis de Weierstrass. Es decir, estaremos ante una función continua pero en un intervalo abierto y no acotado. Algo tendremos que pensar...

En fin, creo que no es difícil. ¡Vamos allá!

¡Ah! Al final podréis encontrar el fichero .ipynb, por si queréis experimentar con Jupyter notebook o, en general, con Python.

Resolvemos un ejercicio de selectividad de integración

¡Buenas!

Pues retomamos una buena y antigua costumbre: resolver algún problema de selectividad.

Me gusta dejar alguno de estos problemas de vez en cuando por varios motivos:

1. Ayuda a no confiarse. Básicamente, si nos enfrentamos a uno de estos problemas y no somos capaces de resolverlo perfecta y rápidamente... es que aún nos falta mucho para dominar la materia.
2. Ayuda a reforzar conceptos básicos.
3. Sirve para motivarnos.

En este caso, se trata de un problema que cayó en la selectividad gallega en junio del año 2015. 

Realmente, es un problema muy sencillo. Se trata sólo de integrar una función sencillita y luego jugar un poco con el resultado. 

La gracia está (a mi modo de ver) en la forma de enunciar el problema, que no es del todo estándar. 

¡Venga, ánimo! 

Y recordad: si no sale perfecto no vale.

Empiezo una ingeniería pero me falla el nivel de matemáticas... ¿Qué hago?

¡Buenas!

Vamos a atender on-line una pregunta que ya me han hecho un par de alumnos por mail, y que seguro que otros muchos no se han atrevido a hacer, pero comparten. Se formula de distintas maneras más o menos equivalentes:

• "Vengo de un ciclo de FP y la última vez que estudié matemáticas fue hace x años". 
• "Es que yo en bachillerato cogí las matemáticas de sociales porque me parecían muy difíciles las de ciencias".
• "Yo hice las matemáticas de ciencias, pero las aprobé de milagro y fue mi nota más baja en selectividad".
• ...

Lo primero que tengo que decir a los que estéis en esta situación es: Todo tiene solución... pero vas a tener que esforzarte más que tus compañeros.

Digamos que tienes que subir una montaña de 4000m y estás abajo de todo. Tus compañeros (bueno, algunos de ellos) salen desde el campo base situado a 2000m. ¡Y todos tenéis que llegar a la cima! ¿Es posible? Sí, pero, si quieres llegar al mismo tiempo que ellos (es decir, aprobar la asignatura en enero) vas a tener que esforzarte más.

Además de algunos recursos obvios (apuntarte a una academia o buscar un profesor particular que te eche una mano) que no están al alcance de todos los bolsillos, podemos encontrar alguna ayuda por internet. Pero, ¡cuidado!, no es oro todo lo que reluce y hay mucho material por ahí que nos puede confundir más que ayudar.

En fin, buceando un poco por la web he encontrado este curso 0 de matemáticas de la UNED, que me ha parecido muy recomendable:
http://ocw.innova.uned.es/matematicas-industriales/

Como podéis ver los que estéis interesados, se estructura por temas. Los más interesantes para Cálculo son:

• Aplicaciones, funciones y gráficas (http://ocw.innova.uned.es/matematicas-industriales/contenidos/pdf/tema2.pdf). Por cierto, este tema lo ha escrito Daniel Franco Leis (¡un saludo!), que coincidió conmigo en algunos cursos de doctorado... hace ya unos cuantos años.
• Trigonometría (http://ocw.innova.uned.es/matematicas-industriales/contenidos/pdf/tema10.pdf).
• Derivadas (http://ocw.innova.uned.es/matematicas-industriales/contenidos/pdf/tema7.pdf).
• Integrales (http://ocw.innova.uned.es/matematicas-industriales/contenidos/pdf/tema8.pdf).

Al empezar cada tema hay una "Prueba diagnóstico" para saber si necesitamos seguir leyendo o si sabemos lo suficiente para dedicar nuestros esfuerzos a otra cosa.

También podéis repasar un poco los conocimientos que se deben adquirir en bachillerato (por supuesto, en el de ciencias) aquí:
http://personales.unican.es/gonzaleof/#
Hay unas transparencias en cada tema que están muy bien.

Pues ahora, como ponía en las instrucciones de un examen que hice en primero de carrera, "¡Duro y a la cabeza!".

Ejercicio de selectividad. Máximos, mínimos y recta tangente.

Pues después de una larga ausencia, me dispongo a retomar el blog.
Creo que os debo una breve explicación por este abandono.
Hace casi 2 meses me eligieron decano de mi facultad (Facultad de Ingeniería Informática, en A Coruña). Como podréis imaginar, el aterrizaje en el nuevo puesto está siendo duro y ha añadido un montón de trabajo nuevo a mi carga habitual. Pero ahora ya me voy poniendo al día y puedo retomar cosas que me ilusionan... como este blog.

Y ya que la selectividad es inminente, os voy a dejar resuelto un ejercicio que cayó el año pasado en Andalucía.  Es un ejercicio bastante estándar y no demasiado complicado.
En la primera parte hay que calcular el máximo y el mínimo absoluto de una función en un intervalo cerrado y acotado. La función es derivable y continua en ese intervalo, así que lo único que hay que hacer es seleccionar los candidatos (extremos del intervalo y puntos en los que la derivada se anule, en este caso), evaluar la función en todos esos candidatos y ver entre ellos cuál da el valor máximo y cuál el mínimo. Esta comparación es lo más complicado del ejercicio, porque los números que quedan no son evidentes de ordenar de menor a mayor.
La segunda parte nos pide que calculemos la recta tangente a la función en un punto. Si recordamos la ecuación de la recta tangente es directo... si no la recordamos, siempre podemos deducirla mediante la fórmula punto-pendiente de la recta.

En fin, al grano:

Ejercicio de selectividad. Una función definida a trozos.

Vamos a seguir resolviendo ejercicios de exámenes de selectividad.
En este caso se trata de un problema que cayó en la selectividad de Madrid en junio de 2012.

Como casi siempre en estos casos, es un ejercicio bastante completo.
Partimos de una función definida en 2 trozos, y que, además, depende de un parámetro A en el primer trozo. Nos piden fijar ese parámetro para que la función sea continua y, después, estudiar su derivabilidad y los puntos en los que la derivada se anula.
 La tercera parte pregunta por máximos y mínimos absolutos, pero en un dominio que corresponde por completo a la segunda definición de la función f. Aunque matemáticamente sería más interesante tomar un dominio que incluyera al punto 3 (os animo a hacer este mismo apartado con, por ejemplo, máximos y mínimos en [0,6]), supongo que la persona que redactó el ejercicio quería dar margen para que pudieran puntuar algo los alumnos que no supieran responder al primer apartado.

 En resumen, una magnífica excusa para repasar conceptos que se deben dominar bien en el bachillerato. Si estáis preparando la selectividad, ¡adelante! Debéis hacer muuuchos como éste. Si estáis en primero de carrera, utilizad estos ejercicios como tabla de repaso que ayuden a fijar y repasar conocimientos.

Ejercicio de selectividad. Área entre una parábola y una recta.

Hoy vamos a resolver con detalle otro problema que cayó en el examen de Selectividad de Galicia en junio del año pasado (2012).

Se trata, en primer lugar, de representar gráficamente una parábola. Después tendremos que calcular su recta normal en un punto y, por último, tendremos que usar la integración para calcular el área entre la parábola y la recta.

La parte de representación gráfica es totalmente típica. He intentado detallar algunos pasos que suelen hacerse de forma mecánica (como el cálculo del vértice de la parábola, por ejemplo).

La segunda parte tiene la novedad de tener que calcular la recta normal en un punto. La recta normal es la recta perpendicular a la recta tangente... pero no es demasiado habitual su uso. De todos modos, es sencillo tener su pendiente y como ya conocemos un punto por el que pasa, podremos usar directamente la fórmula punto-pendiente de la recta.

La última parte (el cálculo del área entre parábola y recta usando integración) resulta ser muy sencillo, ya que sólo hay que integrar funciones polinómicas. Eso sí, los números que resultan son un poquito liosos, pero sólo hay que jugar un poco con las fracciones.

¡Ánimo!

Un ejercicio de selectividad. Bolzano, Rolle y un límite logarítmico.

Hoy vamos a resolver un problema que cayó en un examen de selectividad. Concretamente en Galicia, en junio de 2012.

Como podéis ver, la dificultad de este ejercicio es más o menos la misma que la de otros ejercicios que hemos resuelto hasta ahora... lo que me hace pensar en hasta qué punto estamos bajando el nivel en los primeros cursos de una ingeniería universitaria. En fin...

En este caso podemos ver dos partes bien distintas. Más que un ejercicio con dos apartados son dos ejercicios distintos.

La primera parte es una aplicación directa del teorema de Bolzano y del teorema de Rolle. Se resuelve del mismo modo que el comienzo de un ejercicio que pusimos en el examen de hace un par de meses, y que podéis ver aquí.

En cuanto a la segunda parte, es un límite logarítmico. Es decir, un límite del tipo $1^{\infty}$, que, como sabéis, es indeterminado. Para resolverlo, tomamos logaritmo en el límite y así hacemos bajar al exponente. Después es fácil conseguir una indeterminación del tipo 0/0 (o $\infty/\infty$) y aplicar directamente la regla de l'Hôpital. Aquí tenéis un vídeo (no es mío, pero creo que está bien explicado) en el que se hace con detalle un ejemplo de este tipo.

Por cierto, os recomiendo que os habituéis a usar maxima.
Es un software libre (si usáis linux lo tenéis en los repositorios, sino lo podéis descargar aquí) que permite hacer cálculo simbólico (límites, derivadas, integrales, etc.) de forma muy sencilla e intuitiva. Y si os apetece probarlo, tenéis una versión on-line que podéis usar con cualquier navegador en http://maxima-online.org/.
Como ejemplo, el límite anterior se puede hacer con la orden:
limit(((x+2)/(x^2+x+2))^(1/x^2),x,0);

¡Vamos allá!