Indeterminación tipo "1 elevado a infinito"

 ¡Buenas!

Sigo introduciendo cambios en el blog...

Ahora voy a probar a dejaros los ejercicios resueltos utilizando el formato de Jupyter Notebook. Si no conocéis lo que es esto, y sentís curiosidad, podéis leer muchas cosas interesantes aquí, por ejemplo: https://es.wikipedia.org/wiki/Proyecto_Jupyter

Para entedernos, es una herramienta que nos permite conjugar texto (también con Latex, es decir, las fórmulas matemáticas) con comandos de Python (además de Julia o R). El resultado me gusta bastante. Y, si tenéis el archivo original en su formato .ipynb (adjunto el que corresponde a este ejercicio al final de esta entrada, después de las imágenes) podéis jugar con él e ir cambiando algunas cosillas en el Python para familiarizaros con este lenguaje.

Pero al grano. El problema que os dejo resuelto es un ejemplo claro de cómo se resuelven las indeterminaciones del tipo 1 elevado a infinito: se toman logaritmos y eso hace que el exponente se convierta en un factor de multiplicación, llegando a una nueva indeterminación del tipo 0 por infinito, ya más sencilla de resolver. 

En concreto, este ejercicio lo pusimos en uno de los últimos exámenes (Julio 2017), regalando 1 punto a vuestros pretéritos compañeros.

A ver si os resulta fácil...

Otro problema sobre el método de dicotomía

¡Buenas!

Supongo que los alumnos de la asignatura que me estéis leyendo estaréis ansiosos por que salgan las notas. Esperemos que a finales de esta semana...

Mientras tanto, para calmar la ansiedad, y antes de que os pongáis a estudiar como locos para las asignaturas del segundo cuatrimestre, os dejo la solución del primer ejercicio.

Es una pregunta muy sencilla que requiere usar, en primer lugar, el teorema de Bolzano para comprobar que existe una raíz en el intervalo que nos indica el enunciado. A continuación, hay que usar la estimación de error del método de dicotomía para saber cuántas iteraciones nos garantizan un error inferior a una centésima. Por último, hay que calcular las 2 primeras iteraciones de este método.

¿Dificultades? Poca cosa. Un par de acotaciones para saber si la función en los extremos es positiva o negativa, y utilizar la técnica de prueba/error para estimar el número de iteraciones necesarias en el segundo apartado. El resto es directo.

Como curiosidad, os puedo decir que ha salido bastante bien este ejercicio. De los 200 exámenes que ya están puntuados, este ejercicio tiene una media de 1.00 (exacto) sobre 2.00. Curiosamente, es la misma media que el tercer ejercicio. Y así ambos se sitúan como los ejercicios que mejor os han salido del examen. No está mal.

Un problema de dicotomía (del examen de Julio de 2014).

¡Buenas!

Como estoy seguro de que os estáis aburriendo en medio de este soporífero puente, os voy a dar la alegría de sugeriros un problema para que paséis el rato.

Se trata de algo sencillito (no hay que pasarse) para practicar el método de dicotomía.
Es una pregunta que pusimos en el examen de la segunda oportunidad del curso 2013/14 (es decir, en el examen de Julio de 2014). Pretendíamos que fuese muy facilita... y creo que lo conseguimos.

Sobre un polinomio (más fácil ya no hay), tenéis que deducir, en primer lugar, la existencia y unicidad de raíz en un intervalo, luego dar 2 pasos del método de dicotomía en el mismo intervalo y, finalmente, una aplicación de la estimación del error en este método numérico.

Resumiendo, un ejercicio completo para practicar el método de dicotomía y, al mismo tiempo, muy facilito para irle perdiendo el miedo.

¡Ánimo!

Un ejercicio del método de dicotomía

Hoy vamos a resolver un problema muy sencillo, pero que muestra una aplicación completa del método de dicotomía o método de bisección. Podéis encontrar una explicación completa de este método en la wikipedia en español (here I am) y, mejor todavía, en la misma wikipedia pero en inglés (púlsame, púlsame). En este último link tenéis un pseudocódigo y un ejemplo completo.

En el caso que resuelvo a continuación, en primer lugar hay que comprobar que se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano, para garantizar la existencia de una solución a la ecuación que nos plantean. A continuación hay que usar la estimación del error para calcular cuántas iteraciones son suficientes para obtener un error dado y, por último, calcular las tres primeras iteraciones.

En resumen, un ejemplo completo que encierra todas las dificultades posibles en un problema sobre el método de dicotomía (que son bien pocas, por cierto).

¿A qué estamos esperando? Aquí está:

Ejercicio de selectividad. Una función definida a trozos.

Vamos a seguir resolviendo ejercicios de exámenes de selectividad.
En este caso se trata de un problema que cayó en la selectividad de Madrid en junio de 2012.

Como casi siempre en estos casos, es un ejercicio bastante completo.
Partimos de una función definida en 2 trozos, y que, además, depende de un parámetro A en el primer trozo. Nos piden fijar ese parámetro para que la función sea continua y, después, estudiar su derivabilidad y los puntos en los que la derivada se anula.
 La tercera parte pregunta por máximos y mínimos absolutos, pero en un dominio que corresponde por completo a la segunda definición de la función f. Aunque matemáticamente sería más interesante tomar un dominio que incluyera al punto 3 (os animo a hacer este mismo apartado con, por ejemplo, máximos y mínimos en [0,6]), supongo que la persona que redactó el ejercicio quería dar margen para que pudieran puntuar algo los alumnos que no supieran responder al primer apartado.

 En resumen, una magnífica excusa para repasar conceptos que se deben dominar bien en el bachillerato. Si estáis preparando la selectividad, ¡adelante! Debéis hacer muuuchos como éste. Si estáis en primero de carrera, utilizad estos ejercicios como tabla de repaso que ayuden a fijar y repasar conocimientos.

Un ejercicio de selectividad. Bolzano, Rolle y un límite logarítmico.

Hoy vamos a resolver un problema que cayó en un examen de selectividad. Concretamente en Galicia, en junio de 2012.

Como podéis ver, la dificultad de este ejercicio es más o menos la misma que la de otros ejercicios que hemos resuelto hasta ahora... lo que me hace pensar en hasta qué punto estamos bajando el nivel en los primeros cursos de una ingeniería universitaria. En fin...

En este caso podemos ver dos partes bien distintas. Más que un ejercicio con dos apartados son dos ejercicios distintos.

La primera parte es una aplicación directa del teorema de Bolzano y del teorema de Rolle. Se resuelve del mismo modo que el comienzo de un ejercicio que pusimos en el examen de hace un par de meses, y que podéis ver aquí.

En cuanto a la segunda parte, es un límite logarítmico. Es decir, un límite del tipo $1^{\infty}$, que, como sabéis, es indeterminado. Para resolverlo, tomamos logaritmo en el límite y así hacemos bajar al exponente. Después es fácil conseguir una indeterminación del tipo 0/0 (o $\infty/\infty$) y aplicar directamente la regla de l'Hôpital. Aquí tenéis un vídeo (no es mío, pero creo que está bien explicado) en el que se hace con detalle un ejemplo de este tipo.

Por cierto, os recomiendo que os habituéis a usar maxima.
Es un software libre (si usáis linux lo tenéis en los repositorios, sino lo podéis descargar aquí) que permite hacer cálculo simbólico (límites, derivadas, integrales, etc.) de forma muy sencilla e intuitiva. Y si os apetece probarlo, tenéis una versión on-line que podéis usar con cualquier navegador en http://maxima-online.org/.
Como ejemplo, el límite anterior se puede hacer con la orden:
limit(((x+2)/(x^2+x+2))^(1/x^2),x,0);

¡Vamos allá!