Ejercicio "teórico" sobre la inversa de la tangente

¡Buenas!

Pues "ya" tenemos las notas del examen. Desde luego, son mucho peores de lo que yo esperaba, pero...
Sólo 135 aprobados de 308 presentados, en un examen que me parece muy fácil y que, además, era el primero del cuatrimestre. ¡Uf!

En fin, sigo colgando las soluciones a los ejercicios del examen. Ahora voy con la primera pregunta, la que muchos os sorprendió a muchos de vosotros.
Realmente, se trata sólo de un par de preguntas más o menos teóricas (no esperamos que nadie hiciera las demostraciones) sobre una de las funciones elementales que tanto insistimos en las primeras clases que debéis dominar a la perfección.
¡Vamos! Saber que la inversa de la tangente es el arco-tangente, y un par de cosas sobre esta función no es para asustar a nadie, creo yo.

He intentado resolverlo con calma para ir aclarando dudas sobre lo que es una función inversa, pero la respuesta que esperábamos en el examen era mucho más breve y concisa. Básicamente, en 5 líneas estaba lista esta pregunta.

Si alguien tiene curiosidad por saber cómo se deduce la fórmula de la derivada, la puede ver aquí: https://proofwiki.org/wiki/Derivative_of_Arctangent_Function
Sí, existe una wiki de demostraciones. ¡Hay frikis por todas partes!

Clase de una función definida con el valor absoluto

Después de haber escuchado algunas dudas de mis alumnos, creo que sería interesante resolver un problema elemental en el que se estudie, paso a paso, la clase de una función definida a partir de un valor absoluto.

Como ya debéis saber, la clase de una función marca el número de veces en que una función es derivable con derivada continua (para poder seguir derivando). Es decir, una función de clase 1 es una función derivable y con la primera derivada continua, etc. Aquí podéis ver cómo lo define la wikipedia.

Nosotros planteamos una función aparentemente compacta, pero en cuya definición aparece un valor absoluto. En estos casos siempre es mejor separar la función en 2 partes (diferenciando según lo que aparezca dentro del valor absoluto sea positivo o negativo) y tratarla como una función definida a trozos.
Eso es lo que vamos a hacer y, acto seguido, iremos resolviendo las dificultades muy despacio, sin omitir ningún paso.

¡Ánimo!

Ejercicio de selectividad. Una función definida a trozos.

Vamos a seguir resolviendo ejercicios de exámenes de selectividad.
En este caso se trata de un problema que cayó en la selectividad de Madrid en junio de 2012.

Como casi siempre en estos casos, es un ejercicio bastante completo.
Partimos de una función definida en 2 trozos, y que, además, depende de un parámetro A en el primer trozo. Nos piden fijar ese parámetro para que la función sea continua y, después, estudiar su derivabilidad y los puntos en los que la derivada se anula.
 La tercera parte pregunta por máximos y mínimos absolutos, pero en un dominio que corresponde por completo a la segunda definición de la función f. Aunque matemáticamente sería más interesante tomar un dominio que incluyera al punto 3 (os animo a hacer este mismo apartado con, por ejemplo, máximos y mínimos en [0,6]), supongo que la persona que redactó el ejercicio quería dar margen para que pudieran puntuar algo los alumnos que no supieran responder al primer apartado.

 En resumen, una magnífica excusa para repasar conceptos que se deben dominar bien en el bachillerato. Si estáis preparando la selectividad, ¡adelante! Debéis hacer muuuchos como éste. Si estáis en primero de carrera, utilizad estos ejercicios como tabla de repaso que ayuden a fijar y repasar conocimientos.

Derivabilidad de una función definida a trozos

Esta noche os voy a dejar planteado un ejercicio tipo muy sencillo que, como casi siempre, encierra una pequeña trampa.

Se trata de estudiar la derivabilidad de una función definida a trozos justo en el punto en que pasamos de una definición a otra.

La trampa está en que muchas veces estos ejercicios se enseñan mal. Es una práctica muy extendida entre muchos profesores de bachillerato (y algunos universitarios) comprobar la derivabilidad evitando la definición. Es más sencillo mirar si la función derivada es continua y, en caso de serlo, deducir que la función es derivable.
Lo malo es que esta técnica es incorrecta y puede dar lugar a muchas confusiones, como la que os mostramos en este ejercicio.
¡Y este error circula hasta por internet! Podéis comprobarlo en este enlace (que corresponde a la, por otra parte, muy recomendable página lasmatematicas.es) en el que el ejercicio se realiza de forma no del todo correcta.

Espero que esta entrada aclare os pueda aclarar un poco este punto.