Indeterminación tipo "1 elevado a infinito"

 ¡Buenas!

Sigo introduciendo cambios en el blog...

Ahora voy a probar a dejaros los ejercicios resueltos utilizando el formato de Jupyter Notebook. Si no conocéis lo que es esto, y sentís curiosidad, podéis leer muchas cosas interesantes aquí, por ejemplo: https://es.wikipedia.org/wiki/Proyecto_Jupyter

Para entedernos, es una herramienta que nos permite conjugar texto (también con Latex, es decir, las fórmulas matemáticas) con comandos de Python (además de Julia o R). El resultado me gusta bastante. Y, si tenéis el archivo original en su formato .ipynb (adjunto el que corresponde a este ejercicio al final de esta entrada, después de las imágenes) podéis jugar con él e ir cambiando algunas cosillas en el Python para familiarizaros con este lenguaje.

Pero al grano. El problema que os dejo resuelto es un ejemplo claro de cómo se resuelven las indeterminaciones del tipo 1 elevado a infinito: se toman logaritmos y eso hace que el exponente se convierta en un factor de multiplicación, llegando a una nueva indeterminación del tipo 0 por infinito, ya más sencilla de resolver. 

En concreto, este ejercicio lo pusimos en uno de los últimos exámenes (Julio 2017), regalando 1 punto a vuestros pretéritos compañeros.

A ver si os resulta fácil...

Un límite logarítmico que depende de 2 variables

Vamos a seguir en la misma línea de la entrada anterior (ya que estamos...), y a seguir con los límites logarítmicos.

En este caso hay una pequeña diferencia en la forma de presentar el ejercicio. No se pide calcular el límite, sino jugar con 2 parámetros (a y b) que aparecen en la expresión para que ese límite dé $\pi$. En el fondo es exactamente lo mismo, pero puede confundir un poco esa forma de presentar el ejercicio.

De nuevo, siguiendo con el consejo que comenzamos en la anterior entrada, os recomiendo utilizar maxima para confirmar vuestros cálculos, o para ayudaros a medio camino. Como ejemplo, en este caso, el límite total se puede calcular con la expresión limit(((2*x+a)/(2*x+b))^(3*x),x,inf), pero también podemos apoyarnos en algún paso intermedio, por ejemplo, al derivar el logaritmo neperiano de (2x+a)/(2x+b) (diff((2x+a)/(2x+b),x) o ratsimp(diff((2x+a)/(2x+b),x))).

Por cierto, este ejercicio lo usamos en nuestros boletines de primero de ingeniería, pero perfectamente podría ser un ejercicio de selectividad.

Un ejercicio de selectividad. Bolzano, Rolle y un límite logarítmico.

Hoy vamos a resolver un problema que cayó en un examen de selectividad. Concretamente en Galicia, en junio de 2012.

Como podéis ver, la dificultad de este ejercicio es más o menos la misma que la de otros ejercicios que hemos resuelto hasta ahora... lo que me hace pensar en hasta qué punto estamos bajando el nivel en los primeros cursos de una ingeniería universitaria. En fin...

En este caso podemos ver dos partes bien distintas. Más que un ejercicio con dos apartados son dos ejercicios distintos.

La primera parte es una aplicación directa del teorema de Bolzano y del teorema de Rolle. Se resuelve del mismo modo que el comienzo de un ejercicio que pusimos en el examen de hace un par de meses, y que podéis ver aquí.

En cuanto a la segunda parte, es un límite logarítmico. Es decir, un límite del tipo $1^{\infty}$, que, como sabéis, es indeterminado. Para resolverlo, tomamos logaritmo en el límite y así hacemos bajar al exponente. Después es fácil conseguir una indeterminación del tipo 0/0 (o $\infty/\infty$) y aplicar directamente la regla de l'Hôpital. Aquí tenéis un vídeo (no es mío, pero creo que está bien explicado) en el que se hace con detalle un ejemplo de este tipo.

Por cierto, os recomiendo que os habituéis a usar maxima.
Es un software libre (si usáis linux lo tenéis en los repositorios, sino lo podéis descargar aquí) que permite hacer cálculo simbólico (límites, derivadas, integrales, etc.) de forma muy sencilla e intuitiva. Y si os apetece probarlo, tenéis una versión on-line que podéis usar con cualquier navegador en http://maxima-online.org/.
Como ejemplo, el límite anterior se puede hacer con la orden:
limit(((x+2)/(x^2+x+2))^(1/x^2),x,0);

¡Vamos allá!