Examen de enero de 2017. Aplicación del Teorema Fundamental.

¡Buenas!

Seguimos mostrando las soluciones a las preguntas del examen de enero de este 2017. Ahora le toca el turno a la segunda pregunta.

Es un problema en el que tenemos que calcular los extremos relativos de una función, es decir, sus máximos y mínimos relativos. Ya sabéis, ver dónde se anula la primera derivada y, en esos puntos, comprobar si la segunda derivada es positiva (mínimo relativo) o negativa (máximo).

Así dicho parece sencillísimo... y lo es, pero hay una pequeña trampa, y es que la función se define mediante una integral, por lo que para deducir su derivada debemos aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo.

De todos modos, una vez hecho esto, la solución del problema sale fácil, como vais a ver ahora mismo (o eso espero).

¡Vamos allá!

P.D.- Gracias a Josecito De Los Campos, cuyo comentario me ha permitido corregir este ejercicio.

Resolvemos un ejercicio de selectividad de integración

¡Buenas!

Pues retomamos una buena y antigua costumbre: resolver algún problema de selectividad.

Me gusta dejar alguno de estos problemas de vez en cuando por varios motivos:

1. Ayuda a no confiarse. Básicamente, si nos enfrentamos a uno de estos problemas y no somos capaces de resolverlo perfecta y rápidamente... es que aún nos falta mucho para dominar la materia.
2. Ayuda a reforzar conceptos básicos.
3. Sirve para motivarnos.

En este caso, se trata de un problema que cayó en la selectividad gallega en junio del año 2015. 

Realmente, es un problema muy sencillo. Se trata sólo de integrar una función sencillita y luego jugar un poco con el resultado. 

La gracia está (a mi modo de ver) en la forma de enunciar el problema, que no es del todo estándar. 

¡Venga, ánimo! 

Y recordad: si no sale perfecto no vale.

Cálculo de extremos de F mediante el Teorema Fundamental del Cálculo.

¡Buenas!

Pues seguimos con nuestra serie de ejercicios resueltos del último examen de la asignatura que imparto en la UDC (Universidade da Coruña). Podéis ver el enunciado aquí.

Vamos a resolver ahora el segundo ejercicio.

Nos piden que calculemos los extremos relativos (o sea, máximos y mínimos relativos) de una función F. Hasta aquí todo muy bien. Lo malo es que esa función aparece definida de una forma un tanto extraña: mediante una integral.

El ejercicio se simplifica mucho si habéis estudiado el Teorema Fundamental del Cálculo. Así ya sabréis que a derivada de F es lo que está dentro de la integral, de modo que calcular cuándo la derivada es 0 ya es un ejercicio directo.

La cosa se complica un poco cuando hay que mirar el signo de la segunda derivada para saber si los puntos que hemos calculado son máximos o mínimos relativos, pero, de todos modos, no es nada que deba asustar a un estudiante de primer curso de una ingeniería.

¡Adelante!

Nota (04/feb/2014): Tuve que corregir la segunda página de este ejercicio por un error muy bestia al evaluar F''. Si alguien lo tenía impreso, por favor, que coja la nueva versión.

Por cierto, que esto os sirva de lección: no os fiéis de nadie... y mucho menos de un profesor de matemáticas. TODOS cometemos errores.

¡Ah! Gracias, Duarte, por avisarme.

Cálculo de la superficie entre una parábola y su recta tangente (Examen de enero 2014, primer ejercicio).

¡Buenas!

Sí, ya sé que estoy de lo más vago en cuanto a actualizar este blog, pero... ¡qué le vamos a hacer!

Vamos a empezar a resolver el examen que pusimos hace unas semanitas (¿visteis las notas? De los que seguís el blog, ¿aprobasteis todos?), y, ya puestos, vamos a empezar por el primer ejercicio.

Se trata de un ejercicio digno de un examen de selectividad, ¡y de los fáciles!

Hay que calcular la ecuación de una parábola de la que conocemos 3 datos, después su recta tangente en un punto y, para culminar el esfuerzo, el área entre la parábola y dicha tangente (vamos, la complicadísima integral de un polinomio).

¡Buf! Secad el sudor y echadle un vistazo:

Integral aproximada con trapecio y Simpson compuestos

¡Buenas!

Hoy os voy a dejar detallado un ejercicio sencillo en el que aproximamos una integral de Riemann (integral definida) mediante los métodos de

1. trapecio (podéis verlo en la wiki, http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_del_trapecio) y 
2. Simpson (http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Simpson), 

ambos compuestos.

Lo que se hace en la práctica es extraer unos puntos de la función y, sobre ellos, aplicar las correspondientes fórmulas.
Desde un punto de vista más profundo, estas fórmulas equivalen a construir, o bien los trapecios que unen esos puntos de 2 en 2, o bien las parábolas que los unen de 3 en 3, e integrar estas nuevas curvas que deberían aproximar la función f original.

¡Espero que este ejemplo os pueda ser útil!

¡Ah! Lo pusimos en un examen... en el ya lejano julio del 2012.

Una integral impropia de examen

¡Buenas!

Con menos regularidad de la que me gustaría, pero aquí estamos de nuevo.

Hoy voy a resolver un ejercicio de integración impropia que pusimos en el examen de Julio de 2013. El ejercicio no es demasiado complicado, pero encierra una pequeña trampa: sí, es impropia de primer tipo (intervalo no acotado), eso está claro, pero... ¿será además impropia de segundo tipo?
Es decir, ¿la función es acotada o no acotada en el intervalo de integración?
En el fondo es sólo calcular un límite aplicando la regla de l'Hôpital, pero tiene su gracia.

Por cierto, como siempre, os podéis apoyar en maxima para hacer el límite,  limit(exp(-1/x)/x^2,x,0,plus), o para ir comprobando que no os equivocáis en cada paso de l'Hôpital.

¡A disfrutarlo!

Una integral impropia que se deduce de otra.

Y ahora que ya han eliminado a José David de MasterChef, puedo completar tranquilamente una nueva entrada.

En esta ocasión (y siento la tardanza) contesto a la pregunta de uno de vosotros y voy a colgar un ejercicio que había dejado planteado unos meses atrás (véase Una transformada de Laplace).

Se trata de resolver una integral impropia de primer tipo... pero sin completar el ejercicio. Nos quedamos a medio camino, porque podemos usar un dato que nos facilita el enunciado (¡y menos mal!).
Así planteado este problema es más bien una demostración matemática: partiendo y utilizando un axioma, tenemos que probar una tesis.
El resultado es un ejercicio sencillo, pero muy distinto de lo que estamos acostumbrados a resolver. Tenemos que pensar, relacionar y, sobre todo, intentar hacer aparecer la hipótesis.
En cuanto aplicamos partes sobre la integral que nos preguntan aparece la integral que nos dan como dato... y ya la agarramos por el cuello y no la dejamos escapar. Después usamos la regla de L'Hôpital y ya podemos concluir el ejercicio.

Pues nada, ¡que ahí vamos!

Integral impropia de tercer tipo.

¡Buenas!

Aquí vamos otra vez, hoy con un problema que acabamos de poner en un examen correspondiente al plan viejo de las ingenierías informáticas.

Se trata de una integral que es claramente impropia (hay que integrar entre 0 e infinito)... pero que esconde una trampa. Y es que el integrando es no acotado en el dominio de integración (concretamente, tiende a infinito cuando nos acercamos a 0), por lo que realmente es una integral impropia de tercer tipo: una suma de una impropia de primer tipo, entre 1 (por ejemplo) e infinito, más una impropia de segundo tipo, entre 0 y 1.

No es que esto añada una dificultad adicional, sólo hay que romper la integral en 2 trozos, hacer cada uno por separado y tener cuidado con los límites y, al final, sumar los 2 resultados.
Pero hay que darse cuenta y, a tenor de los resultados en el examen, eso no debe ser tan fácil.

Por supuesto, podéis ayudaros de maxima para hacer la integral... lo que pasa es que es demasiado listo. En efecto, si ponéis directamente integrate(1/(sqrt(x)*(x+1)),x,0,inf); obtendréis la solución correcta. Lo mejor, sin embargo, sería hacer
limit(integrate(1/(sqrt(x)*(x+1)),x,epsilon,1),epsilon,0)+limit(integrate(1/(sqrt(x)*(x+1)),x,1,M),M,inf);

Y ya, sin más dilación, ¡vamos allá!

Ejercicio de selectividad. Área entre una parábola y una recta.

Hoy vamos a resolver con detalle otro problema que cayó en el examen de Selectividad de Galicia en junio del año pasado (2012).

Se trata, en primer lugar, de representar gráficamente una parábola. Después tendremos que calcular su recta normal en un punto y, por último, tendremos que usar la integración para calcular el área entre la parábola y la recta.

La parte de representación gráfica es totalmente típica. He intentado detallar algunos pasos que suelen hacerse de forma mecánica (como el cálculo del vértice de la parábola, por ejemplo).

La segunda parte tiene la novedad de tener que calcular la recta normal en un punto. La recta normal es la recta perpendicular a la recta tangente... pero no es demasiado habitual su uso. De todos modos, es sencillo tener su pendiente y como ya conocemos un punto por el que pasa, podremos usar directamente la fórmula punto-pendiente de la recta.

La última parte (el cálculo del área entre parábola y recta usando integración) resulta ser muy sencillo, ya que sólo hay que integrar funciones polinómicas. Eso sí, los números que resultan son un poquito liosos, pero sólo hay que jugar un poco con las fracciones.

¡Ánimo!

Volumen de un cuerpo de revolución entre dos curvas

Hoy vamos a ver una aplicación del cálculo integral: el cálculo del volumen de una superficie de revolución.

En principio, estos ejercicios son muy sencillos: se aplica una fórmula y listo. Pero en este caso hay una diferencia, ya que el cuerpo se considera generado entre dos curvas. Entonces el área de cada sección será una corona circular, por lo que tendremos que restar el área de los dos círculos involucrados.

Y, todavía peor, hay que mirar en cada punto cuál es el mayor radio, y éste coincide con el mayor valor absoluto entre las dos funciones. Como hay un trozo en el que las funciones son negativas, ahí debemos tomar la función que va por abajo (al cuadrado) menos la que va por arriba (también al cuadrado, claro). Y donde son positivas tenemos que hacerlo al revés... En fin, un pequeño lío, que espero que se entienda (y, si no, preguntad).

Bueno, sí, los numeritos finales son un poco feos para hacer sin calculadora, de acuerdo, pero...

¡Ah! Sí, este problema también cayó en el examen de la asignatura de hace unos días...

Una integral impropia para calcular Gamma de 2

Pues vamos a seguir con los problemas del examen del viernes pasado.

Ahora tenemos que resolver una integral impropia para así poder calcular el valor de $\Gamma(2)$.
La explicación de la función Gamma, $\Gamma$, la podéis ver en la Wikipedia.
Es una generalización del factorial para los números reales e, incluso, para los complejos, y se cumple que $\Gamma(n)=(n-1)!$, cuando $n$ es un número entero. Por lo tanto el resultado esperado es $\Gamma(2)=1!=1$.
A ver si tenemos suerte y llegamos a ese resultado...

Un ejercicio en flashback sobre el Teorema Fundamental del Cálculo.

He visto que la entrada más visitada hasta el momento es aquélla en la que hago un ejercicio completo sobre el Teorema Fundamental del Cálculo.

Con riesgo de aburriros, entenderé que es un tema que interesa algo más que la media, por lo que podría ser bueno dejaros otro ejercicio del mismo estilo. ¿Cuál? Pues el que dejaba planteado al final de la entrada citada. Así, si habéis intentado hacerlo, podéis comprobar si vuestros esfuerzos fueron en la dirección correcta. Y si no lo habéis intentado, aquí tenéis un ejercicio de lo más completo, que espero que os ayude a entender el Teorema Fundamental.

Partimos de una función discontinua, la integramos, y nos piden que estudiemos la continuidad y derivabilidad de la función resultante.

He hecho el ejercicio con mucho detalle, tal vez demasiado. Espero que no resulte demasiado pesado.

Por cierto, si no entendéis algún paso o queréis comentar cualquier cosa, no dudéis en dejar un comentario.

¡Ánimo!

Cálculo de la derivada de F mediante el Teorema Fundamental del Cálculo

Hoy os propongo un problema sencillo y bastante mecánico, que, además, podemos considerar como un problema tipo en la aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo.
 
Se trata de calcular la derivada de una función, F, que se define mediante una fórmula integral. A veces (como se hace en la Wikipedia) este tipo de problemas aparece en el enunciado del Teorema Fundamental como consecuencia directa del enunciado del mismo. Y entonces aparece una fórmula para el cálculo de F'... una de esas fórmulas que, si no entendemos correctamente, se nos suele olvidar en los momentos más inoportunos.

Nosotros lo haremos paso a paso y, además, en un caso bastante completo, en el que tanto el límite inferior como el superior son funciones de x. Así, con un solo ejercicio cubrimos todas las posibilidades (es decir, si lo entendéis va a ser difícil que os sorprendan con un ejercicio de este mismo estilo).

Aunque en este caso no se nos pide, una vez que conocemos F' podríamos utilizarla para el cálculo de máximos y mínimos relativos, para una aplicación de la regla de l'Hopital, etc. ¡No os extrañéis si os piden algo así para una función integral!

Volumen de acero en la piel de una esfera.

¡Buenos días/tardes/noches!

Técnicamente, ya es lunes, así que espero que empecéis la semana con fuerzas.
Os dejo un ejercicio fácil para ir empezando. Se trata de un problema en el que el cálculo integral se aplica para calcular el volumen de un cuerpo de revolución.
¡Ojo! Es muy fácil hacerlo sin utilizar integración. Sólo necesitamos usar la fórmula del volumen de una esfera, que imagino que casi todos sabréis, pero no se trata de eso...

Una transformada de Laplace. Ejercicio de integración impropia.

¡Buenos días/tardes/noches!

Hoy voy a resolver un problema difícil. Es un ejercicio de integración impropia que parte de la definición de transformada de Laplace.
Como espero que sepáis (y si no lo sabéis podéis mirar en la wikipedia), la integración impropia es una extensión de la integración definida. Si en vez de integrar una función $f$ en un intervalo cerrado y acotado ($[0,10]$, por ejemplo) queremos hacerlo en un intervalo infinito (digamos en $[0,+\infty]$) lo que hacemos es integrar entre $0$ y un número grande (en $[0,M]$) y luego tomar el límite cuando ese número grande tiende a $+\infty$ $\left(\lim_{M\to+\infty}\int_{0}^{M}\right)$.
Aunque suena un poco raro al principio, no es difícil.
En el caso del ejercicio que presentamos a continuación, la principal dificultad práctica es que la integración se realiza en función de $t$ para cada valor de $x$. Es decir, $x$ es una constante para la integración. Si eso os confunde, mi consejo es que primero probéis a hacer el ejercicio cambiando $x$ por un valor numérico (por ejemplo, donde aparezca $x$ vosotros escribís 23) y después lo rehagáis en el caso general.
¡Ánimo!

Un ejercicio sobre el Teorema Fundamental del Cálculo

 

Presentamos a continuación un problema que tiene que ver con el Teorema Fundamental del Cálculo.
Podéis consultar el enunciado de este teorema (¡con su demostración y todo!) y algunos ejemplos en la wikipedia.