ABAU 2017. Coste mínimo de una caja.

 ¡Buenos días!

Seguimos incluyendo problemas nuevos en el blog. Hoy os traigo uno que apareció en la ABAU del año 2017.

Es un problema sencillo, de cálculo del mínimo absoluto de una función. 

Como casi siempre en estos problemas, partimos de un enunciado de un problema real y tenemos que formularlo matemáticamente. Creo que en este caso es muy sencillo, pero eso no quita que sea una dificultad añadida. 

Una vez que hemos deducido la formulación matemática del enunciado, nos encontramos con una novedad: no se cumplen las hipótesis de Weierstrass. Es decir, estaremos ante una función continua pero en un intervalo abierto y no acotado. Algo tendremos que pensar...

En fin, creo que no es difícil. ¡Vamos allá!

¡Ah! Al final podréis encontrar el fichero .ipynb, por si queréis experimentar con Jupyter notebook o, en general, con Python.

Máximos y mínimos absolutos para una función de tipo valor absoluto.

¡Buenas!

Pues voy a colgar hoy la solución a un problema que pusimos en el último examen de Julio (año 2016).

Se trata de un problema de cálculo de extremos absolutos que tiene como única dificultad el hecho de que la función viene definida mediante un valor absoluto.

En estos casos, lo que hay que hacer es desarrollar la función, separando con cuidado las partes en las que el interior del valor absoluto sea negativo y aquéllas en las que sea positivo. Así, el valor absoluto se separa en una función definida a trozos que, generalmente, será continua pero no derivable en los puntos en que se cambia la definición.

Y no hay mucho más que decir...

¡Ah! Observaréis que ya, definitivamente, me inclino por la escritura en latex. No es que me guste más, pero me resulta mucho más cómodo hacerlo así. Sí, ya sé que parece curioso que se tarde menos en preparar un ejercicio en latex que a mano... pero, en mi caso, ¡es rigurosamente cierto!. Espero que no reste demasiada personalidad a este blog.

¡Ánimo!

Ejercicio de selectividad. Máximos, mínimos y recta tangente.

Pues después de una larga ausencia, me dispongo a retomar el blog.
Creo que os debo una breve explicación por este abandono.
Hace casi 2 meses me eligieron decano de mi facultad (Facultad de Ingeniería Informática, en A Coruña). Como podréis imaginar, el aterrizaje en el nuevo puesto está siendo duro y ha añadido un montón de trabajo nuevo a mi carga habitual. Pero ahora ya me voy poniendo al día y puedo retomar cosas que me ilusionan... como este blog.

Y ya que la selectividad es inminente, os voy a dejar resuelto un ejercicio que cayó el año pasado en Andalucía.  Es un ejercicio bastante estándar y no demasiado complicado.
En la primera parte hay que calcular el máximo y el mínimo absoluto de una función en un intervalo cerrado y acotado. La función es derivable y continua en ese intervalo, así que lo único que hay que hacer es seleccionar los candidatos (extremos del intervalo y puntos en los que la derivada se anule, en este caso), evaluar la función en todos esos candidatos y ver entre ellos cuál da el valor máximo y cuál el mínimo. Esta comparación es lo más complicado del ejercicio, porque los números que quedan no son evidentes de ordenar de menor a mayor.
La segunda parte nos pide que calculemos la recta tangente a la función en un punto. Si recordamos la ecuación de la recta tangente es directo... si no la recordamos, siempre podemos deducirla mediante la fórmula punto-pendiente de la recta.

En fin, al grano:

Ejercicio de selectividad. Una función definida a trozos.

Vamos a seguir resolviendo ejercicios de exámenes de selectividad.
En este caso se trata de un problema que cayó en la selectividad de Madrid en junio de 2012.

Como casi siempre en estos casos, es un ejercicio bastante completo.
Partimos de una función definida en 2 trozos, y que, además, depende de un parámetro A en el primer trozo. Nos piden fijar ese parámetro para que la función sea continua y, después, estudiar su derivabilidad y los puntos en los que la derivada se anula.
 La tercera parte pregunta por máximos y mínimos absolutos, pero en un dominio que corresponde por completo a la segunda definición de la función f. Aunque matemáticamente sería más interesante tomar un dominio que incluyera al punto 3 (os animo a hacer este mismo apartado con, por ejemplo, máximos y mínimos en [0,6]), supongo que la persona que redactó el ejercicio quería dar margen para que pudieran puntuar algo los alumnos que no supieran responder al primer apartado.

 En resumen, una magnífica excusa para repasar conceptos que se deben dominar bien en el bachillerato. Si estáis preparando la selectividad, ¡adelante! Debéis hacer muuuchos como éste. Si estáis en primero de carrera, utilizad estos ejercicios como tabla de repaso que ayuden a fijar y repasar conocimientos.

Distancia del origen a una parábola

Hoy vamos a resolver un problema bastante repetido. Se trata de calcular la distancia desde un punto fijo (aquí es el origen) hasta una curva (en este caso es una parábola, pero podríamos poner cualquier otra ecuación).
Esta distancia se define como la longitud mínima entre el punto fijo y los puntos de la curva. Un cálculo directo convierte este problema en el cálculo del mínimo de la función distancia, que dependerá de x, según nos vayamos moviendo por la curva. 
Os dejo los links a otros ejemplos resueltos en la red:
http://www.roberprof.com/2010/04/07/distancia-minima-de-un-punto-a-una-parabola/
http://www.youtube.com/watch?v=XG6kV2BLByU

Por cierto, generalmente esta función se eleva al cuadrado para borrar la raíz cuadrada. Pero yo creo que este truco suele entenderse mal y simplifica poco el problema (únicamente cuando queremos calcular la derivada segunda, lo que no es estrictamente necesario), así que en este ejemplo no lo hago, aunque lo incluyo como un comentario.

El problema es sencillo, pero, en este caso, debo reconocer que los cálculos quedan un poco engorrosos. Para ayudaros, como siempre, os recomiendo que reviséis vuestras cuentas (derivadas, desarrollo de polinomios, etc.) utilizando Maxima.

¡Vamos allá!

Cable barato a una plataforma petrolífera

Pues hoy es un día un poco especial. Los que no seáis alumnos míos (¡¡bienvenido!!) no entenderéis a qué me refiero: mañana tenemos el examen de Cálculo. Por eso mis alumnos andan revueltos (y el número de visitas a este blog ha crecido que no veas...).

Para evitar suspicacias, voy a dejaros hoy un problema que seguro que no cae en el examen de mañana... porque ya lo pusimos en el examen de diciembre (examen de la antigua licenciatura que se está extinguiendo).

Es un problema típico de encontrar el mínimo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado y acotado. Vamos, una aplicación directa del Teorema de Weierstrass. Pero es de esos ejercicios "de literatura", en los que hay que pasar de una redacción a una formulación matemática. Y eso a veces complica un poco la vida.

¡Vamos allá!

Optimizamos una ventana de Norman

Vamos a ver un nuevo problema de aplicación de máximos y mínimos.
Es un problema relativamente sencillo en su planteamiento, ya que en cuanto haces el dibujo de la ventana te das cuenta de cuánto es su perímetro (que es la restricción) y cuál su área (la función a maximizar).  Pero antes de acabarlo tendremos que lidiar con 2 o 3 (depende lo que consideremos difícil) puntos delicados:

1. Establecer el intervalo correcto para r.
2. Jugar con fracciones en las que aparece $\pi$.
3. Comparar las evaluaciones del área en los puntos candidatos (al final sólo hay que comparar 2 fracciones, pero...). 

Bueno, ¡al grano!

Derivabilidad y mínimo relativo para una función definida a trozos.

¡Buenas!

Hoy os voy a proponer un problema difícil. Se trata de una función definida en 2 trozos. En el primero es estándar pero en el segundo la función depende de dos parámetros, a y b. Se trata de fijar estos dos parámetros para que, en primer lugar, la función sea derivable y, en segundo lugar, tenga un mínimo relativo.
La primera parte es directa (aunque debo reconocer que los cálculos son bastante aburridos), pero la segunda parte requiere pensar un poco y, sobre todo, tener clara la definición de mínimo relativo (no me gusta la definición de la wikipedia, os recomiendo buscar en la bitácora).
¡Ánimo!

Mayor superficie posible de un rectángulo que se apoya en una parábola

¡Buenas!
Hoy vamos a practicar con un ejercicio sencillo de encontrar el máximo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado y acotado. Como sabéis (espero), en este caso el  teorema de Weierstrass (también podéis consultar el teorema en la Bitácora, en la última parte de Límites y continuidad) nos garantiza que ese máximo absoluto existe.
En estos ejercicios lo difícil suele ser el planteamiento, una vez hemos pasado de la literatura a la matemática la resolución, generalmente, es sencilla. Y para ello ayuda enormemente hacer un dibujo lo más preciso posible y pensar bien dónde ponemos la variable (dónde va a estar $x$).

Extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado

Para que empecéis con fuerza la semana, aquí os dejo resuelto un teorema en el que se aplica el Teorema de Weierstrass a un caso particular.
Como veréis, este ejercicio tiene una pequeña peculiaridad respecto a los que son más habituales...