Otro problema sobre el método de dicotomía

¡Buenas!

Supongo que los alumnos de la asignatura que me estéis leyendo estaréis ansiosos por que salgan las notas. Esperemos que a finales de esta semana...

Mientras tanto, para calmar la ansiedad, y antes de que os pongáis a estudiar como locos para las asignaturas del segundo cuatrimestre, os dejo la solución del primer ejercicio.

Es una pregunta muy sencilla que requiere usar, en primer lugar, el teorema de Bolzano para comprobar que existe una raíz en el intervalo que nos indica el enunciado. A continuación, hay que usar la estimación de error del método de dicotomía para saber cuántas iteraciones nos garantizan un error inferior a una centésima. Por último, hay que calcular las 2 primeras iteraciones de este método.

¿Dificultades? Poca cosa. Un par de acotaciones para saber si la función en los extremos es positiva o negativa, y utilizar la técnica de prueba/error para estimar el número de iteraciones necesarias en el segundo apartado. El resto es directo.

Como curiosidad, os puedo decir que ha salido bastante bien este ejercicio. De los 200 exámenes que ya están puntuados, este ejercicio tiene una media de 1.00 (exacto) sobre 2.00. Curiosamente, es la misma media que el tercer ejercicio. Y así ambos se sitúan como los ejercicios que mejor os han salido del examen. No está mal.

Un problema de dicotomía (del examen de Julio de 2014).

¡Buenas!

Como estoy seguro de que os estáis aburriendo en medio de este soporífero puente, os voy a dar la alegría de sugeriros un problema para que paséis el rato.

Se trata de algo sencillito (no hay que pasarse) para practicar el método de dicotomía.
Es una pregunta que pusimos en el examen de la segunda oportunidad del curso 2013/14 (es decir, en el examen de Julio de 2014). Pretendíamos que fuese muy facilita... y creo que lo conseguimos.

Sobre un polinomio (más fácil ya no hay), tenéis que deducir, en primer lugar, la existencia y unicidad de raíz en un intervalo, luego dar 2 pasos del método de dicotomía en el mismo intervalo y, finalmente, una aplicación de la estimación del error en este método numérico.

Resumiendo, un ejercicio completo para practicar el método de dicotomía y, al mismo tiempo, muy facilito para irle perdiendo el miedo.

¡Ánimo!

Un ejercicio del método de dicotomía

Hoy vamos a resolver un problema muy sencillo, pero que muestra una aplicación completa del método de dicotomía o método de bisección. Podéis encontrar una explicación completa de este método en la wikipedia en español (here I am) y, mejor todavía, en la misma wikipedia pero en inglés (púlsame, púlsame). En este último link tenéis un pseudocódigo y un ejemplo completo.

En el caso que resuelvo a continuación, en primer lugar hay que comprobar que se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano, para garantizar la existencia de una solución a la ecuación que nos plantean. A continuación hay que usar la estimación del error para calcular cuántas iteraciones son suficientes para obtener un error dado y, por último, calcular las tres primeras iteraciones.

En resumen, un ejemplo completo que encierra todas las dificultades posibles en un problema sobre el método de dicotomía (que son bien pocas, por cierto).

¿A qué estamos esperando? Aquí está:

Clase de una función definida con el valor absoluto

Después de haber escuchado algunas dudas de mis alumnos, creo que sería interesante resolver un problema elemental en el que se estudie, paso a paso, la clase de una función definida a partir de un valor absoluto.

Como ya debéis saber, la clase de una función marca el número de veces en que una función es derivable con derivada continua (para poder seguir derivando). Es decir, una función de clase 1 es una función derivable y con la primera derivada continua, etc. Aquí podéis ver cómo lo define la wikipedia.

Nosotros planteamos una función aparentemente compacta, pero en cuya definición aparece un valor absoluto. En estos casos siempre es mejor separar la función en 2 partes (diferenciando según lo que aparezca dentro del valor absoluto sea positivo o negativo) y tratarla como una función definida a trozos.
Eso es lo que vamos a hacer y, acto seguido, iremos resolviendo las dificultades muy despacio, sin omitir ningún paso.

¡Ánimo!

Continuidad, unicidad de raíz y aplicación de Newton-Raphson.

Pues por fin encuentro un rato para meter una nueva entrada... ¡Espero recuperar la regularidad a partir de este mismo momento!

Voy a empezar a resolver los ejercicios del examen que pusimos en julio como segunda oportunidad de nuestra asignatura. Ya sabéis que con el sistema de Bolonia desaparecieron los exámenes de septiembre y ahora lo que hay son 2 oportunidades cada año por asignatura. En nuestro caso, como Cálculo es en el primer cuatrimestre, la primera oportunidad es en enero y la segunda ya al acabar el curso, a principios de julio.
Ya iréis viendo el examen. Yo creo que fue fácil y, en general, los resultados no estuvieron mal.

Hoy resolvemos el primer problema de ese examen,  que pide tres cosas:

1. Estudiar la continuidad de una función.
2. Comprobar que esa función tiene una única raíz en el intervalo [0,2], para lo que aplicaremos primero el teorema de Bolzano, para probar la xistencia de raíz, y, a continuación, el teorema de Rolle, para asegurarnos de que haya sólo una.
3. Aproximar esa raíz mediante el método de Newton-Raphson.

¡Vamos! ¡Fuerte y a la cabeza!

Ejercicio de selectividad. Una función definida a trozos.

Vamos a seguir resolviendo ejercicios de exámenes de selectividad.
En este caso se trata de un problema que cayó en la selectividad de Madrid en junio de 2012.

Como casi siempre en estos casos, es un ejercicio bastante completo.
Partimos de una función definida en 2 trozos, y que, además, depende de un parámetro A en el primer trozo. Nos piden fijar ese parámetro para que la función sea continua y, después, estudiar su derivabilidad y los puntos en los que la derivada se anula.
 La tercera parte pregunta por máximos y mínimos absolutos, pero en un dominio que corresponde por completo a la segunda definición de la función f. Aunque matemáticamente sería más interesante tomar un dominio que incluyera al punto 3 (os animo a hacer este mismo apartado con, por ejemplo, máximos y mínimos en [0,6]), supongo que la persona que redactó el ejercicio quería dar margen para que pudieran puntuar algo los alumnos que no supieran responder al primer apartado.

 En resumen, una magnífica excusa para repasar conceptos que se deben dominar bien en el bachillerato. Si estáis preparando la selectividad, ¡adelante! Debéis hacer muuuchos como éste. Si estáis en primero de carrera, utilizad estos ejercicios como tabla de repaso que ayuden a fijar y repasar conocimientos.