Un ejercicio de selectividad. Bolzano, Rolle y un límite logarítmico.

Hoy vamos a resolver un problema que cayó en un examen de selectividad. Concretamente en Galicia, en junio de 2012.

Como podéis ver, la dificultad de este ejercicio es más o menos la misma que la de otros ejercicios que hemos resuelto hasta ahora... lo que me hace pensar en hasta qué punto estamos bajando el nivel en los primeros cursos de una ingeniería universitaria. En fin...

En este caso podemos ver dos partes bien distintas. Más que un ejercicio con dos apartados son dos ejercicios distintos.

La primera parte es una aplicación directa del teorema de Bolzano y del teorema de Rolle. Se resuelve del mismo modo que el comienzo de un ejercicio que pusimos en el examen de hace un par de meses, y que podéis ver aquí.

En cuanto a la segunda parte, es un límite logarítmico. Es decir, un límite del tipo $1^{\infty}$, que, como sabéis, es indeterminado. Para resolverlo, tomamos logaritmo en el límite y así hacemos bajar al exponente. Después es fácil conseguir una indeterminación del tipo 0/0 (o $\infty/\infty$) y aplicar directamente la regla de l'Hôpital. Aquí tenéis un vídeo (no es mío, pero creo que está bien explicado) en el que se hace con detalle un ejemplo de este tipo.

Por cierto, os recomiendo que os habituéis a usar maxima.
Es un software libre (si usáis linux lo tenéis en los repositorios, sino lo podéis descargar aquí) que permite hacer cálculo simbólico (límites, derivadas, integrales, etc.) de forma muy sencilla e intuitiva. Y si os apetece probarlo, tenéis una versión on-line que podéis usar con cualquier navegador en http://maxima-online.org/.
Como ejemplo, el límite anterior se puede hacer con la orden:
limit(((x+2)/(x^2+x+2))^(1/x^2),x,0);

¡Vamos allá!