Ejercicio "teórico" sobre la inversa de la tangente

¡Buenas!

Pues "ya" tenemos las notas del examen. Desde luego, son mucho peores de lo que yo esperaba, pero...
Sólo 135 aprobados de 308 presentados, en un examen que me parece muy fácil y que, además, era el primero del cuatrimestre. ¡Uf!

En fin, sigo colgando las soluciones a los ejercicios del examen. Ahora voy con la primera pregunta, la que muchos os sorprendió a muchos de vosotros.
Realmente, se trata sólo de un par de preguntas más o menos teóricas (no esperamos que nadie hiciera las demostraciones) sobre una de las funciones elementales que tanto insistimos en las primeras clases que debéis dominar a la perfección.
¡Vamos! Saber que la inversa de la tangente es el arco-tangente, y un par de cosas sobre esta función no es para asustar a nadie, creo yo.

He intentado resolverlo con calma para ir aclarando dudas sobre lo que es una función inversa, pero la respuesta que esperábamos en el examen era mucho más breve y concisa. Básicamente, en 5 líneas estaba lista esta pregunta.

Si alguien tiene curiosidad por saber cómo se deduce la fórmula de la derivada, la puede ver aquí: https://proofwiki.org/wiki/Derivative_of_Arctangent_Function
Sí, existe una wiki de demostraciones. ¡Hay frikis por todas partes!