Cálculo de la derivada de F mediante el Teorema Fundamental del Cálculo

Hoy os propongo un problema sencillo y bastante mecánico, que, además, podemos considerar como un problema tipo en la aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo.
 
Se trata de calcular la derivada de una función, F, que se define mediante una fórmula integral. A veces (como se hace en la Wikipedia) este tipo de problemas aparece en el enunciado del Teorema Fundamental como consecuencia directa del enunciado del mismo. Y entonces aparece una fórmula para el cálculo de F'... una de esas fórmulas que, si no entendemos correctamente, se nos suele olvidar en los momentos más inoportunos.

Nosotros lo haremos paso a paso y, además, en un caso bastante completo, en el que tanto el límite inferior como el superior son funciones de x. Así, con un solo ejercicio cubrimos todas las posibilidades (es decir, si lo entendéis va a ser difícil que os sorprendan con un ejercicio de este mismo estilo).

Aunque en este caso no se nos pide, una vez que conocemos F' podríamos utilizarla para el cálculo de máximos y mínimos relativos, para una aplicación de la regla de l'Hopital, etc. ¡No os extrañéis si os piden algo así para una función integral!