Un ejercicio completo de series numéricas

Hoy escribo con ánimo gris oscuro, casi negro.
Ayer por la noche me avisaron del fallecimiento de un compañero de departamento que daba clase en Ferrol. Era una persona joven, con dos hijos pequeños, y...
¡Pues que va por ti , Eugenio!

Lo que tengo preparado para hoy (y siento no poder dedicarle algo más interesante a un geómetra como él) es una serie numérica. Bueno, realmente es un ejercicio con dos apartados independientes sobre series numéricas. El primero es estándar, pero el segundo exige entender lo que se está haciendo.
¡Que aproveche!