Una serie de potencias convergente para todo número real

¡Buenos días/tardes/noches!

Hoy, a sugerencia de uno de mis alumnos, cuelgo un problema en el que hay que calcular el dominio de convergencia de una serie de potencias. 

Son problemas sencillos de realizar (aunque no tanto de entender bien), pero en este caso tiene una peculiaridad...

El hilo principal del ejercicio lo podéis seguir en lo que está escrito en negro. He incluido un par de comentarios en azul que no son absolutamente imprescindibles para realizar el ejercicio, pero que, creo, ayudan a entenderlo.