Una transformada de Laplace. Ejercicio de integración impropia.

¡Buenos días/tardes/noches!

Hoy voy a resolver un problema difícil. Es un ejercicio de integración impropia que parte de la definición de transformada de Laplace.
Como espero que sepáis (y si no lo sabéis podéis mirar en la wikipedia), la integración impropia es una extensión de la integración definida. Si en vez de integrar una función $f$ en un intervalo cerrado y acotado ($[0,10]$, por ejemplo) queremos hacerlo en un intervalo infinito (digamos en $[0,+\infty]$) lo que hacemos es integrar entre $0$ y un número grande (en $[0,M]$) y luego tomar el límite cuando ese número grande tiende a $+\infty$ $\left(\lim_{M\to+\infty}\int_{0}^{M}\right)$.
Aunque suena un poco raro al principio, no es difícil.
En el caso del ejercicio que presentamos a continuación, la principal dificultad práctica es que la integración se realiza en función de $t$ para cada valor de $x$. Es decir, $x$ es una constante para la integración. Si eso os confunde, mi consejo es que primero probéis a hacer el ejercicio cambiando $x$ por un valor numérico (por ejemplo, donde aparezca $x$ vosotros escribís 23) y después lo rehagáis en el caso general.
¡Ánimo!

Y ahora comprueba si lo has entendido haciendo otro ejercicio parecido:

EJERCICIO: Si sabemos que $\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}\, dx=\frac{\sqrt{2\pi}}{2}$, comprueba que $\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^2 e^{-\frac{x^2}{2}}\, dx=\frac{\sqrt{2\pi}}{2}$.