Integral impropia de tercer tipo.

¡Buenas!

Aquí vamos otra vez, hoy con un problema que acabamos de poner en un examen correspondiente al plan viejo de las ingenierías informáticas.

Se trata de una integral que es claramente impropia (hay que integrar entre 0 e infinito)... pero que esconde una trampa. Y es que el integrando es no acotado en el dominio de integración (concretamente, tiende a infinito cuando nos acercamos a 0), por lo que realmente es una integral impropia de tercer tipo: una suma de una impropia de primer tipo, entre 1 (por ejemplo) e infinito, más una impropia de segundo tipo, entre 0 y 1.

No es que esto añada una dificultad adicional, sólo hay que romper la integral en 2 trozos, hacer cada uno por separado y tener cuidado con los límites y, al final, sumar los 2 resultados.
Pero hay que darse cuenta y, a tenor de los resultados en el examen, eso no debe ser tan fácil.

Por supuesto, podéis ayudaros de maxima para hacer la integral... lo que pasa es que es demasiado listo. En efecto, si ponéis directamente integrate(1/(sqrt(x)*(x+1)),x,0,inf); obtendréis la solución correcta. Lo mejor, sin embargo, sería hacer
limit(integrate(1/(sqrt(x)*(x+1)),x,epsilon,1),epsilon,0)+limit(integrate(1/(sqrt(x)*(x+1)),x,1,M),M,inf);

Y ya, sin más dilación, ¡vamos allá!