Clase de una función definida con el valor absoluto

Después de haber escuchado algunas dudas de mis alumnos, creo que sería interesante resolver un problema elemental en el que se estudie, paso a paso, la clase de una función definida a partir de un valor absoluto.

Como ya debéis saber, la clase de una función marca el número de veces en que una función es derivable con derivada continua (para poder seguir derivando). Es decir, una función de clase 1 es una función derivable y con la primera derivada continua, etc. Aquí podéis ver cómo lo define la wikipedia.

Nosotros planteamos una función aparentemente compacta, pero en cuya definición aparece un valor absoluto. En estos casos siempre es mejor separar la función en 2 partes (diferenciando según lo que aparezca dentro del valor absoluto sea positivo o negativo) y tratarla como una función definida a trozos.
Eso es lo que vamos a hacer y, acto seguido, iremos resolviendo las dificultades muy despacio, sin omitir ningún paso.

¡Ánimo!