Una cuestión sobre el polinomio de Taylor

Hoy vamos a resolver una cuestión muy sencilla en la que lo más importante es tener clara cuál es la forma del polinomio de Taylor.

La pregunta se hace al revés de como es habitual: en vez de darnos la función y preguntarnos cuál es su polinomio de Taylor, nos dan éste y nos piden que saquemos información de la función.

Y, claro, el polinomio de Taylor sólo nos da información exacta de la función en un punto: el que tomamos como centro (llamémosle a). En ese punto el valor de la función y de sus derivadas hasta el orden n coinciden con el valor del polinomio y de sus derivadas hasta el mismo orden. Por lo tanto, del polinomio podemos sacar toda esa información: f en a, f' en a, etc.

Conviene tomar este ejercicio como un primer acercamiento al teorema de Taylor antes de intentar resolver ejercicios más complicados.

Y sólo añadir que, un poco para nuestra vergüenza, este ejercicio se puso en un examen de la asignatura que imparto. Sí, de una asignatura de primero de una ingeniería. ¡Y valía 0.75 puntos sobre un total de 6! Es decir, el 12.5% de la puntuación del examen salía de algo tan sencillo como lo que vais a ver a continuación.